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ピタゴラス定理ガーフィールド証明
ピタゴラス定理ガーフィールド証明 posted from フォト蔵

 ピタゴラスの定理三平方の定理)の証明には,いろいろな人が挑戦し,ピタゴラス以後300種類以上もの証明方法があるそうです。ピタゴラス(学派)自身の証明もあったらしいのですが,どんな方法だったのか正確なところは伝わっていないようです。

 さて,今日ご紹介するのは,アメリカの第20代大統領ガーフィルド氏が発見した証明法だそうです。

 直角をはさむ2辺の長さがa,bで,斜辺の長さがcであるような2つの合同な直角三角形△APC(水色)と△CQB(黄緑色)を図のように組み合わせると,台形ABQPができます。証明は,この台形の面積を2通りの方法で求めることによって行います。

 まず,読者の皆さんもガーフィルド大統領になられたつもりでこの図による証明にチャレンジしてみてください。


(1)上底a,下底b,高さが(a+b)の台形の面積を求める
 台形の面積公式に代入してみます。
(台形の面積)
=(上底+下底)×(高さ)÷2
=(a+b)×(a+b)÷2
=(a^2+2ab+b^2)/2・・・①

 ※ここで,” ○^2 ”は,「 ○の2乗 」という意味です。

(2)与えられた台形の面積を,3つの直角三角形の面積の和として求める
台形ABQP
=△ABC+△APC+△CQB
=c×c÷2+a×b÷2+a×b÷2
=c^2/2+ab/2+ab/2・・・②

①,②は,おなじ一つの台形ABQPの面積を表すので,=で結ぶと,
(a^2+2ab+b^2)/2=c^2/2+ab/2+ab/2
両辺に2をかけて分母を払います。
a^2+2ab+b^2=c^2+ab+ab
両辺から2abを引き去ると,

 ∴a^2+b^2=c^2

 いつの間にか三平方の定理の等式が得られています。

参考文献:『
出光 英則, 銀林 浩
ピタゴラスがくれたおくり物―ピタゴラスの定理
』 国土社


 


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