数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

中学の数学教師が綴る独り言 中学数学,道徳,数学パズル,数学史,和算,Teachers of Mathematicsの話題,小中連携教育,学校行事の様子をデジカメ写真付きで紹介
クラシックカメラ、クラシックレンズで撮影したスナップ写真もほぼ毎日綴っています


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 では,毎日,玄関で,80分しか記憶が持たない博士が「初対面の」家政婦さんと交わす会話があります。博士が家政婦さんの靴のサイズを訊くと,家政婦さんが「24です」と答え,博士が,「ほお,実に潔い数字だ。4の階乗だ」と答えるシーンです。今回は,この「階乗(かいじょう)」についてのお話です。「潔い」というのは,手元にある国語辞典によれば,「行動にひきょうなところがなく,公正である」という意味ですが,どうして24(4の階乗)が「潔い」数字なのかがよく分かりません。

1から4までの自然数を順に掛け合わせたものが「4の階乗」です。「4!」と表します。
4!=1×2×3×4
当然,4,3,2,1と逆順にかけても同じことです。
4!=4×3×2×1

4!は,4個の違うモノを1列に並べる並べ方の数を表しています。一般化すれば,正の整数(自然数)nについて「n!」は,n個の違うモノを1列に並べる並べ方の数を表していることになります。

試しに「す」「う」「が」「く」の4文字を1列に並べる並べ方の総数が
本当に,4!=24(通り)になるかどうか試してみて下さい。
 
樹形図も使えますが,モレやダブりがないように注意しながら実際に並べてみます。

(1)先頭が「す」の場合
すうがく
すうくが
すがうく
すがくう
すくうが
すくがう
 ∴6通り

(2)先頭が「う」の場合
うすがく
うすくが
うがすく
うがくす
うくがす
うくすが
 ∴6通り

(3)先頭が「が」の場合
がすうく
がすくう
がうすく
がうくす
がくすう
がくうす
 ∴6通り

(4)先頭が「く」の場合
くすうが
くすがう
くうがす
くうすが
くがうす
くがすう
 ∴6通り

うーーむ。間違いそうでした。できるだけ五十音順になるように辞書式に整理していった方がよかったようです。ともあれ,4の階乗4!が24になることが確かめられました。
ついでにエクセルの関数FACT()を利用して「5!」から「10!」までを計算してみました。
n n!
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800

 なんと10!で,362万8千8百にもなってしまいます。n!は,nが大きくなると,急激にビックリ!するほど,大きくなっていくことが予想できますね。


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