数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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おうぎ形の面積公式
おうぎ形の面積公式< /a> posted from フォト蔵

 半径rのおうぎ形の弧の長さをl,面積をSとすると,

S=(1/2)lr・・・①

と表すことができます。一方,底辺a,高さhの三角形の面積をSとすると,

 S=(1/2)ah・・・②

 このように,おうぎ形の面積公式①と三角形の面積公式②は形がとてもよく似ています。形が似ているので,あとから教わるおうぎ形の面積公式のほうを三角形の面積公式に関連づけて覚えることができます。おうぎ形の弧の長さを三角形の底辺,おうぎ形の半径を三角形の高さと対応させて覚えればよいわけです。

どうしておうぎ形の面積が①の形になるかを直観的に納得するための作業をやってみました。
【作業手順】
①円をかき,その円を24等分したおうぎ形をかきます。(何等分でもかまいません。)そして,半円ずつ違う色で塗り分けます。
②おうぎ形を切り分けます。
③色違いのおうぎ形が12個ずつできます。それぞれの色のおうぎ形を同じ個数ずつ並べて,おうぎ形を1つつくります。
④次にこのおうぎ形の形を崩し,今度は互い違いに並べ替えて,平行四辺形に似た形に変形します。
⑤弧の長さl,半径rのおうぎ形の面積Sを求めようとする代わりに,底辺(1/2)l,高さrの平行四辺形の面積Sを求めると考えます。底辺がlの半分になるのは,互い違いに半分ずつ向きが違えたからです。

 (平行四辺形の面積)=(底辺)×(高さ)
にあてはめると,
 S=(1/2)l×r
∴ S=(1/2)lr または,S=lr/2

もとになったおうぎ形をできるだけ細かいチビおうぎ形に分割したあとで,互い違いに組み合わせた平行四辺形をつくれば,曲線だった弧の部分もほとんど直線とみなすことができるようになると想像できます。また,互い違いに組み合わせた平行四辺形の全体的な形も長方形に近づいていくと考えられます。つまり,縦がr,横が(1/2)lの長方形の面積を求める話にすり替えることができるというわけです。

分割して総合(統合)するのが微分積分の考え方の基礎にあると思います。おうぎ形を分割した細片を,組み直して,平行四辺形(長方形)に変形して面積を求める方法は,まさに微分積分的な考え方だと思います。「(微)かに(分)割して,(分)かった(積)もりになる。」のが微分積分だと高三の時の恩師に教わりました。うまいことを言ったものだと思います。





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