数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 中学,高校の教科書では,取りあげられることはないようですが,確率論の歴史の中で「ビュッフォンの問題」とか「ビュッフォンの針」と呼ばれる問題があります。

ビュッフォン(1707~1788年 フランス)は,数学者というよりも,博物学者としてのほうが有名だそうです。数学にも関心があったらしく,ニュートンが著した微分積分学の本を翻訳していたこともあるそうです。

さて,「ビュッフォンの針」というのは,次の問題です。

「平面上に一定の間隔(2hとします。)で,等間隔に平行線が引かれている平面があったとします。この平面上に,ある長さ(2lとします。l<h)の1本の針を,でたらめに(無作為に)落とすとき,この針が平行線と交わる確率を求めなさい。」


 ビュッフォンは,自身で本を著し,この問題に解答を与えているそうです。彼が考えた確率の求め方は,幾何学的な(図形的な)考えを必要とするもので,この問題の正解を円周率πを用いて,2l/πh (πh分の2l)と求めています。

その後,スイスの天文学者ヴォルフ(1816~1893年)が,h=45mm,l=36mmの場合で5000回実験したら,そのうち,針が平行線と交わった回数が,2532回だったそうです。

この実験の相対度数と,ビュッフォンが示した確率の値を=で結ぶと,次の式が得られます。
2532/5000=2×36/45π

 ここからπを求めると,π=3.159557・・・になるそうです。

(参考文献:志賀 浩二 中高一貫数学コース 数学5をたのしむ 岩波書店 P142,143)


 実験の回数を増やしていけば,より正確なπの値が得られそうですね。


【幾何学的な考えで(面積を利用して)確率を求める問題】

「10cm間隔の格子をかいて,1円玉(直径2cm)を投げたとき,1円玉が2本の線の上に乗る確率を求めよう。」

(参考文献:数学ワンダーランド4 何森 仁, 銀林 浩 ギャンブル家の数学組曲「確率」

国土社 P119 トライコーナー)


 選択数学のメンバー8人で実験してみました。用意したのは,方眼大洋紙,記録用紙,一円玉数枚です。

図のように,方眼大洋紙は,1辺10cmの正方形の方眼が目立つようにあらかじめ線をサインペンなどでなぞっておくとよいです。

ビュッフォンの針実験風景
ビュッフォンの針実験風景 posted from フォト蔵

実験はいたって簡単です。一人ひとりが一円玉を何回投げたかと,そのうち2本線に何回乗ったかを記録するだけです。実験は約30分間行い,実験後は各自が次の相対度数(統計的確率)を求めました。

相対度数=(2本の線に乗った場合の回数)÷(一円玉を投げた総回数)

8人の実験結果をまとめたのが次の板書です。

一円玉投下実験相対度数
一円玉投下実験相対度数 posted from フォト蔵


 相対度数による方法でなく,数学的に(理論的に)この実験(試行)の確率を求めるにはつぎのように計算するのだそうです。

一円玉が2本の線に乗っかるのは,一円玉(円)の中心が1辺10cmの正方形の1つの頂点(マス目のカド)を自分の頂点にもつ1辺1cmの正方形の内部に入ったときです。

1円玉投下実験
1円玉投下実験 posted from フォト蔵


 この1辺10cmの正方形の1つの頂点(マス目のカド)を自分の頂点にもつ1辺1cmの正方形は全部で4つあります。

一円玉を無作為に投げたとき,1辺10cm(面積100c㎡)のどの場所にはいるかは,同様に確からしい(起こり方が同じ程度に期待できる)と考えられます。そのうち,さきほどの1辺1cmの正方形4つ(面積1c㎡×4つ=4c㎡)の中に一円玉の中心が入れば,2本の線に乗っかるわけですから,2本の線に乗る確率の計算は,次のように面積を面積で割ることにしてしまいます。

4÷100=4/100=1/25=0.04


この理論値0.04と我々選択数学のメンバーでの実験値35/779=0.04492・・・がほとんど変わらなかったのが不思議でした。実験回数が増えれば増えるほど理論値の0.04に限りなく近くなることが予想されます。(∵大数の法則(たいすうのほうそく):実際の試行で,あることがらが起こる割合は,試行回数が多ければ多いほど,そのことがらが起こる確率の値に近づいていくという法則)


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