数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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ty直角三角形と垂線
直角三角形と垂線 posted from フォト蔵

 直角三角形の直角の頂点から斜辺に垂線をおろすと,新たに2つの直角三角形ができます。そしてこれらは,もとの三角形と相似になってしまいます。つまり,もとの直角三角形と合わせると3つの直角三角形があることになります。

2つの三角形の相似を示したり,相似比を利用して線分の長さを求める問題では,どの辺とどの辺,どの角とどの角が対応しているかがわかりにくい場合があります。

例えば,2つの三角形の向きが違う場合や,三角形どうしが重なっている場合,重なっているだけでなく,裏返しになっている場合などです。

この板書の場合は,中にできた直角三角形を裏返して,下の直角三角形と同じ向きに置き換えると,対応辺,対応角がとらえやすくなります。いちいち新たに図を書き加えるのは面倒だなあと思わないことです。難問だと思った問題の視界が開き,「なあーんだ,簡単じゃん。」と思えてくるものです。

図の問題は,相似を利用して線分AD,BDの長さを求めるものです。板書の写真には,証明が書いていないので,△ABCと△DBAが相似になることの証明を穴埋め問題にして載せておきます。答は一番下です。全く同様にして,△ABC∽△DACの証明ができます。下の証明をマネして,実際に証明を書いてみると,よい練習になると思います。証明が自力で書けるようになるには,見本を見ながらマネして書いてみるといううトレーニングが絶対必要です。教科書や問題集の証明の中に「同じようにして・・・」とか「同様にして・・・」という部分があったときは,「同じようにして」どういう証明の文章になるかを実際に書いて先生や友達から添削してもらうようにすると力がつきます。

【△ABC∽△DBAの証明】(     )の中に記号や言葉(文章)などを埋めて証明を完成してみて下さい。

【仮定】△ABCで,∠A=90°,AD⊥BC【結論】△ABC∽△DBA

【証明】
△ABCと△DBAにおいて,
∠ABC=∠(     )(根拠:     )・・・①
∠BAC=∠(     )=90°(根拠:     )・・・②
①,②より,(相似条件:     )がそれぞれ等しいといえたので,
△ABC∽△DBA                    【証明終わり】

【答:DBA,共通な角,(仮定の∠A=90°,AD⊥BC),2組の角】

 
 次は,最近購入した中学生1年~3年用の数学参考書です。基礎基本から応用までの内容を丁寧に分かりやすく解説しています。

高橋 一雄
語りかける中学数学



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