数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 確率の基本である場合の数の数え方の工夫について書いてみたいと思います


(Ⅰ)モノの順番(並び順)を問題にしない場合(=組み合わせだけを問題にすればよい場合)

「卓球の試合でA,B,C,Dの4中学校が,それぞれ1回ずつ対戦します。(総当たり戦を行う。)試合数は全部でいくつになりますか。」


 この場合は,どことどこのチームが対戦するかという試合の組み合わせだけが問題です。そこで,A中学校とB中学校が対戦することを(A,B)と書く約束にします。これは,皆さんと私との「暗号」と考えましょう。

場合の数を数えるときは,モレやダブりが無いようにうまく工夫する必要があります。
中学校名がアルファベットになっているので,この問題の場合には,アルファベット順に整理して考えていくことにしましょう。どこの中学校絡みの試合かという視点から整理していきます。どこの中学校絡みかというのもアルファベット順で考えていきます。

① まず,A中学校絡みの試合の組み合わせを考えます。Aの相手校はアルファベット順で1校1校選んでいけばよいわけです。
(A,B)
(A,C)
(A,D)
∴3試合


② ①でA中学校が絡む試合はすべて考えたので,次に考える試合の組み合わせの中にA中学校は含ませる必要がありません。今度は,B中学校絡みの試合を整理していきます。Bの相手校は,アルファベット順にC,Dの中から1校ずつ選んでいきます。
(B,C)
(B,D)
∴2試合


③ ①,②でA中学校,B中学校が絡む試合はすべて考えたので,次に考える試合の組み合わせの中にA中学校もB中学校も含ませる必要はありません。そこで,今度は,C中学校絡みの試合を整理していきます。Cの相手校は,アルファベット順だと,あとDだけということになります。
(C,D)
∴1試合


④ ①,②,③でA中学校,B中学校,C中学校が絡む試合はすべて考えたので,最後に考える試合の組み合わせの中にA中学校もB中学校もC中学校も含ませる必要がありません。今度は,D中学校絡みの試合を整理していくことになります。といっても,Dの相手校は,アルファベット順だと,もう1校も残っていません。ということは,①~③までの中ですべての場合が含まれていることになります。


 以上①~④の考察から,総当たり戦の全試合数は3+2+1=6試合ということになります。
 ①~④の各場合を,すべて横に並べておきます。
(A,B)(B,C)(C,D)
(A,C)(B,D)
(A,D)
試合数が1個ずつ減っていくことが分かります。

 もちろんこの問題に関して言うなら,リーグ戦の対戦表を書いて試合数を数えるという方が直観的で,分かりやすいのかも知れません。しかし,このように辞書式に整理しながら場合の数を数える工夫について触れたかったのです。

(Ⅱ)モノの順番(並び順)を問題にする必要がある場合

「1,2,3,4と数字を書いたカードが1枚ずつあります。このカードのうち,2枚を並べてできる2けたの整数は,全部で何個ありますか。」


 今度は,2けたの整数ですので実際に十の位,一の位と数字を並べて考えていきます。もちろん,例えば,12と21は区別しなくてはなりません。(違う2けたの数ですから)(Ⅰ)でくどい説明になったので,こっちはちょっとだけ簡単に書きます。十の位の数字で場合分けして,最後にまとめます。

① 十の位が1のとき
12
13
14
∴3通り


② 十の位が2のとき
 21
23
24
∴3通り

③ 十の位が3のとき
 31
32
34
∴3通り


④ 十の位が4のとき
 41
42
43
∴3通り


 ①~④をまとめると,3+3+3+3=12通りの2けたの数をつくれることになります。

数え方の工夫


もちろんこの問題も「樹形図」を書いて考える方が簡単かも知れません。しかし,このくらいの問題で,地道に全部書き出す方法を理解してから,もっと簡単で機械的な方法を工夫していく中で「樹形図」による方法を納得した方が理解しやすいのではないかなあと思うのです。

こういう地道な経験がなく,いきなり「樹形図」の方法を教えてもらうと,何となく天から降ってきたような感じがして,「どうしてこんな枝みたいな図を書くんだろう?どういうときに使えるんだろう?どうやって書くんだろう?」などと疑問を抱く生徒も出てくるのではないかと思うのです。


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