数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 現行の指導要領だと,教科書の『確率』という単元では「期待値」は教えません。確率はもともとかけ事でいかに勝つかという必要性から生まれ,発展してきた経緯があります。 中世ヨーロッパでは,16世紀までには,さいころの目の出方が,どのようなときに同じ確からしさで起こるかという,確率の問題に人々の関心が集まるようになってきました。その背景には,かけ事の流行があったのだそうです。
(岩波書店 志賀浩二 著 『

志賀 浩二
中高一貫数学コース 数学5をたのしむ

 数学5をたのしむ』 第1章 確率の歴史 §1 ヨーロッパ中世 P124)


 「期待値(:きたいち)」というのは,簡単に言うと,「あるくじ引きで,くじを1回引いたときに平均していくらの賞金を期待できるか?」を意味しています。

次のような状況を考えてみましょう。

「5本中1等,2等,3等のあたりくじと,はずれくじ2本を含むくじがあります。
賞金は

 1等:2000円
 2等:1000円
 3等:500円
 はずれ:0円

です。ただし,このくじ引きには500円の参加料がかかるものとします。
 さて,このくじ引きに何回か参加することにしたら,参加するほうが損か得か,考えてみて下さい。」

自分なりに結論を出してから,次の説明をお読み下さい。

何回も何回もやったとき,1回あたり平均して,どのくらいの金額の賞金を期待できるかを計算できればよいわけです。

確率どおりだとすれば,このくじを5回引いたとき,(今回は,引いたくじは元に戻し,いつも5本の中から1本だけ引くようにします。)
1等は,1回
2等は,1回
3等は,1回
はずれは,2回
出ることになります。


 そうすると,5回の獲得賞金の平均金額は,次の計算になります。
(2000円×1回+1000円×1回+500円×1回+0円×2回)÷5回 ・・・(A)
=(2000円+1000円+500円+0円)÷5回
=3500円÷5回
=700 (円/回)


 何回も何回もこのくじをやったら,平均して700円は期待できるということですから,計算上は,500円の参加料を払っても少しだけ得といえるわけです。

さて,(A)の式の「÷5」の部分を「×(1/5)」に書き換えて,さらに分配法則を使って,変形してみます。

(A)
=2000×(1/5)+1000×(1/5)+500×(1/5)+0×(2/5)
=400+200+100+0
=700

 つまり,(ある等の賞金)×(その等があたる確率)の合計を求めているわけです。

これを「期待値」と呼んでいました。

(参考:国土社 何森 仁 数学ワンダーランド4『

何森 仁, 銀林 浩
ギャンブル家の数学組曲「確率」

』P120~P123)


 生徒が社会人になったときには,現実的かつ身近(生徒に身近かどうかは別です。)な話題ですので,ややかけ事に関連があるとはいえ,学校数学で「期待値」を教えないというのは,疑問を覚えます。生徒がやがてギャンブル(福引きと考えてもよいです。)のできる大人になったときに,損得を正しく判断できる(=リスクを事前に回避できる)かどうかは大事なことだと思うのですが・・・。

 

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