数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 選択数学では,今回と次回の2時間扱いで「確率の問題攻略講座」を開くつもりです。1回目は確率の基本を,2回目はやや発展的な問題の解きかたを研究します。入試に実際に出た問題の解き方の確認が中心ですが,解いてみて結果が意外であったり,新たな興味が沸くような問題を扱いたいものです。例えば,確率のおもしろさや意外性を話題にしたいのであれば,次のくじ引きの問題などはいかがでしょうか?

 くじ引きで,引いたくじを元に戻さないタイプ(普通は引いたくじは元には戻しませんよね)の次の問題を考えてみましょう。


「5本中はずれが2本,あたりが3本含まれたくじがあります。このくじを5人で順番に1本ずつ引いていきます。このとき,次の(1),(2)の確率を求めてみてください。
ただし,だれかが引いたくじは元に戻さないこととします。
(1)1番目に引いた人があたる確率
(2)5番目に引いた人があたる確率」


 以前『くじ引きは神様の順列』という記事を書いているのでそちらもあわせて読んでいただければ,うれしいです。

引いたくじを戻す(復元抽出:ふくげんちゅうしゅつ)だったら,何番目に引いてもあたる確率は,3/5(5分の3)は,誰もが納得することでしょう。

では,引いたくじを戻さない非復元抽出(:ひふくげんちゅうしゅつ)の場合は,一体どうなるのでしょうか?

まず,予想を立ててみて下さい。(1),(2)のそれぞれについて「こうじゃないかなあ?」で結構です。「何分の何になる」という予想を持ってから,次をお読み下さい。

(1)について
 5本のくじが見かけ上,どんなに同じに見えても,区別をして考えるのが確率の問題を解決するコツでした。
そこで,いま,2本のはずれくじは,できるだけ簡単に1,2と表すことにします。3本の当たりくじの方は,③,④,⑤にします。

1番目に引く人ですから,くじは5本全部あります。この中から1本だけ引いた場合が何通りあるか整理してみます。それは,もちろん次の5通りの引き方になります。

 ・はずれ1を引く
 ・はずれ2を引く
 ・あたり①を引く
 ・あたり②を引く
 ・あたり③を引く

 この5通りのいずれの場合も,同様に確からしい(そのことが起こることを同じ程度に期待できる。)と考えられます。この5通りのうち,あたりを引く場合が,「あたり①を引く」,「あたり②を引く」,「あたり③を引く」の3通りあります。

ですから求める確率は 3/5(5分の3)ということになります。

(2)(1)とは,少し違った考え方で処理してみます。気まぐれな神様の立場になって,はずれくじ2本とあたりくじ3本の合計5本のくじを順番に並べていきます。くじ引きで誰にはずれを引かせ,誰にあたりを引かせるかを神様が気まぐれに決めていることにします。
 次のように○をはずれくじ,をあたりくじと考え,○2個と3個の合わせて5個を並べます。
12345
●●○・・・(A)

 この考え方だと,はずれくじとあたりくじは区別していますが,はずれくじどうし,あたりくじどうしは区別していません。でも,不都合はなさそうです。(A)のように書いてあったら,これは,皆さんと私との「暗号」と考えて下さい。
どんな意味かというと,(A)と書いてあったら,これは,

1,3,4番に引いた人があたり,2,5番に引いた人がはずれ・・・(B)

の場合を表していると「解読」するわけです。

それでは,この暗号を使って,5人のあたり方,はずれ方のパターンのすべての場合を整理していきましょう。はずれくじが2本で,あたりくじが3本,はずれの方が1本少ないので,はずれくじ2本を何番目と何番目にセットするかを考えるのがコツです。はずれくじ2本の位置が決まれば,残りは必然的にあたりの位置に決まってしまうからです。つまり,誰と誰がはずれるかを考えることは,誰と誰と誰があたるかを考えることと全く同じことになるわけです。

<<1番目以降にはずれがセットされる場合>>
○○●●● ☆
●● ☆
●● ☆
●●●
<<2番目以降にはずれがセットされる場合>>
○○●● ☆
 ☆
●●
<<3番目以降にはずれがセットされる場合>>
●●○○ ☆
●●
<<4番目以降にはずれがセットされる場合>>
●●●○○

 もっと簡単に何番目と何番目にはずれがセットされるか,その番号だけを書くようにすれば,上の○とのパターンは,次のようにもっと簡単な暗号になります。
12 ☆
13 ☆
14 ☆
15
23 ☆
24 ☆
25
34 ☆
35
45

 結局,全部合わせると,10通りあることが分かりました。神様は気まぐれでこのどのパターンではずれくじをセットするかは,同じ程度に期待できる(同様に確からしい)と考えることにします。

 この10通りの中で,5番目に引く人があたりくじを引く場合(5番に引く人がはずれを引かない場合)が,上の☆印をつけた6通りあります。

ですから,求める5番目の人があたりくじを引く確率は,
6/10=3/5 (5分の3)
ということになったわけです。

 (1),(2)を振り返ると,くじ引きでは,次のことが分かったことになります。


「くじ引きでは,前に引いた人もあとから引いた人もあたる確率は変わらない」


 昔プロ野球のドラフト会議では,くじ引きの順番を決めるためにくじを引くというような手間のかかることをやっていたそうですが,これには意味が全くないことが分かったことになります。

何森 仁, 銀林 浩
ギャンブル家の数学組曲「確率」


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