数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 昨日ご紹介した『

佐藤 健一
和算で遊ぼう!―江戸時代の庶民の娯楽

』からの出題です。幕末に刊行された,初心者から研究者まで使える教科書『算法新書』第2巻にある問題だそうです。


「∠Bが直角になっている直角三角形△ABCがあります。辺AC上にBC=CDとなるような点Dをとります。この点Dと辺BC上の任意の点Eを結ぶ線分DE(この線分を界線(かいせん)といいます。)によって,△ABCの面積が二等分されています。弦ACの長さを2寸(すん)としたとき,界線DEの長さを何寸になりますか?」


 今日は,この問題を解決します。三角形の相似条件と合同条件の両方を使って解決していきます。『和算で遊ぼう!』の解説では,今の中学生が教わらなくなった相似比と面積比の関係を利用している部分があるので,現中学3年生レベルにアレンジした説明にします。


 まず,準備として,下の図のように文字設定をしたり,補助線を引いたりします。
AB=c,BC=CD=aとおき,点EからCD(CA)に引いた垂線の足を点Fとしておきます。

界線2
界線2 posted from フォト蔵


【EFを求める】
 界線DEによって,△ABCの面積が二等分されていますから,界線の右側にある
△CDEと△ABCの面積比は1:2になります。つまり,
△CDE:△ABC=1:2・・・①


 一方,三角形の面積は(底辺)×(高さ)÷2ですから,△CDEと△ABCの面積は次のように求められます。
△CDE=(1/2)×CD×EF=(1/2)×a×EF・・・②
△ABC=(1/2)×BC×AB=(1/2)×a×c・・・③


 ②,③を使って,①の式を書き換えます。
{(1/2)×a×EF}:{(1/2)×a×c}=1:2
(内項の積)=(外項の積)の性質を使うと,
{(1/2)×a×EF}×2={(1/2)×a×c}×1
a×EF=(1/2)×a×c
両辺をaで割ります。
EF=(1/2)×c=(1/2)c・・・④
 つまり,EFは,ABの半分の長さになっていたわけです。


【EC,CF,DFを求める】
 まず,△EFCと△ABCにおいて,
∠ECF=∠ACB(共通の角),∠EFC=∠ABC=90°ですから,2組の角がそれぞれ等しいという三角形の相似条件が成り立っています。
つまり,
△EFC∽△ABCです。


 上の④式から△EFCと△ABCの相似比が1:2であることがわかりますから,対応する辺の比はすべて1:2,つまり,△EFCの辺の長さは△ABCの対応する辺の長さの半分になるわけです。このことから,
EC=(1/2)AC=(1/2)×2=1(寸)・・・⑤
CF=(1/2)CB=(1/2)×a=(1/2)a・・・⑥

ついでに,この⑥を利用して,DFも求めます。
DF=CD-CF=a-(1/2)a=(1/2)a・・・⑦


【界線DEを求める】
△EFCと△EFDにおいて,
 EFは共通辺・・・⑧
 ∠EFC=∠EFD=90°・・・⑨
さらに,⑥,⑦から,
 CF=DF・・・⑩


 ⑧,⑨,⑩より,2辺とその間の角がそれぞれ等しいという三角形の合同条件にあてはまりますから,
 △EFC≡△EFD
が成り立ちます。


 合同な図形の対応する辺の長さは等しいですから,求める界線DEの長さは,CEと等しくなり,これは⑤から,
 DE=CE=1(寸)


‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥

 私は,正直に言いますと,この補助線EFに気付かず,しばらく解けずに悩みました。どういう思考過程から,この補助線に気付くことができるのでしょうか。幕末の数学者たちのセンスのよさを感じずにはいられませんでした。(私の頭が固いだけですかね。)

ともかく,2つの三角形の面積比が与えられていて,しかも,底辺か高さが等しい場合には,面積比の関係から線分比が導き出せるということは,頭の片隅に残しておいても損のない考え方だと思います。それにしても,1問解いただけで,面積比,相似,合同といくつかの単元の学習を総合的に振り返ることができるというのは,「1粒で何度もおいしい」問題でした。

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