数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 江戸時代の有名な和算家,関孝和(1640年ごろ~1708年)は,その著書『求積』の中で「楕円の面積」の求め方について書いているそうです。今日ご紹介するのがその方法です。関孝和は,円錐や円柱を底面に対して斜めに平面で切断したとき,切り口に現れる図形が「楕円」であることを知っていたということです。

 「楕円の面積」の公式を私が始めて知ったのは,高校3年で微分積分を習ったときです。これから述べる関孝和の方法は,積分記号∫(インテグラル)などはもちろん使いません。相似と柱体の体積公式を使った独自の方法です。江戸時代の和算家の発想の豊かさを味わっていただければと思います。今日の問題は,やや中学生のレベルを超えるかもしれません。しかし,中学3年生で習う「相似」の立体図形への応用問題と考えられなくもありません。江戸時代の関孝和に負けないように粘り強くチャレンジしてみてください。

 なお,今回参考にさせていただいた書籍は,

かんき出版の『
佐藤 健一
和算で遊ぼう!―江戸時代の庶民の娯楽


です。普段の数学の授業や,選択教科の数学コースの授業等に活用できそうな話題が親しみやすい語り口で紹介されています。

楕円の面積
楕円の面積 posted from フォト蔵

 図のように求める楕円の長径をa,短径をb,面積をSとします。そしてこの楕円を傾けた斜線の楕円を切り口に持つ(Ⅰ)のような円柱を考えます。この円柱は底面の半径がb,高さがh,円柱を真横から見た長方形の対角線の長さがaとなっています。そして点Dから斜線を引いた楕円におろした垂線の長さをtとしておきます。

 まず,円柱の体積Vを求めます。(なぜ,突然,楕円という平面図形の面積を求めようというのに,立体図形である円柱の体積を求めようとするのかという疑問が沸きます。どうしてこういう発想ができるのか,天才の考えることは理解を超えることが多いです。)

 円柱の体積は底面積と高さの積ですから,
V=π×(b/2)×(b/2)×h
∴ V=πbbh/4・・・①  ←bbは(bの2乗)のつもりです。

 次に円柱を斜線の楕円の切り口で2つの立体XとYに分け,平行移動して(ずらして),(Ⅱ)のような立体を作ります。

 (Ⅱ)の立体の体積をV’と表すことにします。こちらも斜めに傾いてはいますが,いちおう柱体なので体積は,(底面積)×(高さ)の公式を使います。こちらの立体の底面は,斜線の楕円です。この楕円の面積をSとおきます。高さの方はこの楕円に点Dからおろしてある垂線の長さtを使います。すると,
V’=St・・・②
のように簡単に表せます。

 この2つの立体(Ⅰ)と(Ⅱ)は,XとYのくっつけ方を変えただけなので,体積は等しいはずですから,V=V’といえます。そこで,①,②の右辺を=で結ぶことができます。
πbbh/4=St
左辺と右辺をチェンジします。
St=πbbh/4
両辺をtで割ります。
S=πbbh/(4t)・・・③

 次に垂線の長さで使ったtを楕円の長径a,短径b,円柱の高さhで表すことを考えます。
△ACD∽△DCE(∵∠Cが共通で,ともに直角三角形)になっていますから,対応する辺の比が等しくなり,次の式が成り立ちます。
AD:AC=DE:DC
a,b,h,tでこの式を書き直し,t=・・・のスタイルに変形していきます。
b:a=t:h
at=bh
t=bh/a・・・④

④を③のtに代入します。
 /だと分かりにくいので,数式エディタを使って式を表現しなおしてみます。

楕円の面積公式
楕円の面積公式 posted from フォト蔵

 式変形の過程が,複雑すぎて分かりにくいかもしれませんが,導きかれた公式は大変すっきりとしています。結局,次の楕円の面積公式が得られました。
楕円の面積=(長径の半分)×(短径の半分)×(円周率)

 楕円の親戚?である円の面積公式
円の面積=(半径)×(半径)×(円周率)
とよく似た式になっていますね。

 それにしても,江戸初期時代にヨーロッパ数学の積分法とは独自に求積法を発見していた関孝和の天才ぶりは驚異としか思えません。

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