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円周角定理と相似な三角形
円周角定理と相似な三角形 posted from フォト蔵

 図のように同じ円周上に4つの点をとり,蝶ネクタイの形に点を結んでいくと,2つの三角形ができます。これらの三角形にはどんな関係があるでしょうか?

 実は,いつも必ず相似な(形,大きさがそっくりな)三角形ができます。図で言うと,水色の△OAPとピンク色の△OBQが,相似になります。どうしていつも相似な三角形ができてしまうのでしょうか?

 このことを証明するには,中2で習う「円周角定理」を使います。「円周角定理」は,ほんの数年前まで中3での学習内容でした。今,中2で習う円の性質は,「円周角定理」だけです。円に内接する四角形の性質や,接線と弦がつくる角についての性質(「接弦定理」)など,円という図形が持つ美しく不思議な性質は発展的な学習内容という扱いになってしまいました。中2では,三角形や四角形のような直線図形の学習の後で,曲線で囲まれた図形である「円」が出てきます。この学習内容の配列順には,唐突で無理やりという印象を拭い切れません。しかも,扱うのが「円周角定理」だけというのでは,円に関するもろもろの性質(定理)を発見した数学者達がかわいそうに思えてきます。

 「円周角定理」というのは,「一つの円で,一つの弧に対する円周角の大きさは一定で,その大きさは同じ弧に対する中心角の半分になる」
 
 この「円周角定理」により,図の弧ABの上に立つ円周角である∠Pと∠Qは等しいし,弧PQの上に立つ円周角である∠Aと∠Bは等しいと言えます。

 証明の方針が立ち,図をもとに説明ができるようになったら,ぜひ,証明の記述に挑戦してみてください。

 相似かどうかを判定するための拠り所は,「三角形の相似条件」です。相似条件は3つありました。
①3組の辺の比がすべて等しい。
②2組の辺の比が等しく,そのはさむ角が等しい。
③2組の角がそれぞれ等しい。

 いま考えている問題では,辺の長さが分かりませんから,①,②の条件は使えそうにありません。③が成り立つかを確かめればよいことになります。図を観察し,今までに習った定理や性質の中で使えるものがないか思い出しながら,等しいといえる角に同じマークを入れていきます。下の図のようになります。ここまで問題を見切ってしまってから,記号を交えながら文章にまとめて「証明」を書いていきます。

円周角定理と相似な三角形印つき
円周角定理と相似な三角形印つき posted from フォト蔵

 では,証明を書いてみます。
【証明】
 △OAPと△OBQにおいて,

∠OPA=∠OQB(弧ABに対する円周角)・・・①
∠POA=∠QOB(対頂角)・・・・・・・・・・②

 ①,②より,2組の角がそれぞれ等しいといえたので,
△OAP∽△OBQ
【証明終わり】

 高校の頃,こういう【証明の終わり】と書くかわりに,「q.e.d」という略号を使っていました。私と同世代以上の方なら覚えておいでだと思います。

 この証明の記述の中では,∠OAP=∠OBQ(弧PQに対する円周角)であることを使いませんでした。等しいと思えるところに同じマークを入れていったときに,証明の記述に含めなくても済むものも出てきます。たくさん同じマークが付いた中から証明の記述に必要なものだけを選んで書いていくことになります。このあたりも,どれが使えて,どれは使えないという見極めが必要になり,証明を初めて習う中学生を悩ます原因の一つになっているのかもしれません。

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