数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

中学の数学教師が綴る独り言 中学数学,道徳,数学パズル,数学史,和算,Teachers of Mathematicsの話題,小中連携教育,学校行事の様子をデジカメ写真付きで紹介
クラシックカメラ、クラシックレンズで撮影したスナップ写真もほぼ毎日綴っています


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 昨日は,ジャスコ新発田店の初売りに出かけました。5000円で末等でも同額の商品券というくじ引きをやっていたので,家族3人で引いたところ,なんと娘が,特等を引き当ててしまったのです。店員の拍手と「ジャラン,ジャラン,ジャラン」という鐘の音がなり,商品名が知らされました。総額6万9千8百円という高脚こたつセットを引き当ててしまったのです。娘は,今年受験生なので,これで運を使い切ってしまわなければと思った私でした。ともあれ,椅子に座ったまま入ることが出来るこたつは,マンションに戻ったら使えそうなので,喜ばしいことです。私達家族にとっては,ラッキーな元旦でした。

 しかし,そんなに良いことは続きません。今朝ブログを開いたところ,順位がガタ落ち。大ショックの私です。記事をエントリーする気力も一瞬失せるほどでした。しかし,気を取り直して,私のペースを維持したいと思います。

 今日は,昨日の予告どおり,「 」に関する意外(?)な性質について書きます。図をご覧ください。

三角形の重心証明2
三角形の重心証明2 posted from フォト蔵

 3本の頂点と向かい合う中点を結んだ線分AP,BQ,CRが重心Gの位置で交わっています。均質な厚紙等で三角形を描いて切り取り,点Gの位置を指で支えるとちょうど釣り合いが取れます。昨日も書きましたが,点Gは重力の着力点で,バランスポイントになっています。

 しかし,図をよく見て下さい。点Gの位置がこの三角形にとってちょうどつりあいの取れる位置だというのに,線分AP,BQ,CRの中点の位置には来ていません。どう見ても,頂点から重心までの長さの方が重心から中点までの長さより長くなっています。つまり,重心は頂点と中点を結ぶ3つの線分を1:1の比に分割していないわけです。

 では,何対何になっているかというと,この比は意外にも2:1になっているのです。上の図を利用して,このことを証明してみます。図に即して表現すると,証明すべき結論はBG:GQ=CG:GR=2:1と表すことができます。もちろんAG:GP=2:1になることも証明しなければなりませんが,これからの議論と同じようにして証明することができますので省略します。

【証明】
 2つの中点Q,Rを結んだ線分QRを引きます。

 △ABCにおいて点R,Qは辺AB,ACの中点ですから, が使えます。つまり,
RQ//BC,RQ=(1/2)BC・・・①

 次に△GQRと△GCBに着目します。
 ①からRQ//BCが分かっていて,平行線の錯角になりますから,
∠GRQ=∠GCB・・・②
∠GQR=∠GBC・・・③

 ②,③から, 「2組の角がそれぞれ等しい」がいえたわけですから,
△GQR∽△GCB
といえます。

 さらに,①のRQ=(1/2)BCから,
RQ:CB=1:2
なので,△GQRと△GCBの相似比が1:2になります。逆に言えば,
△GCBと△GQRの相似比は2:1になりますから,対応する辺の比はすべて2:1となり,
BG:GQ=CG:GR=2:1

 これを見方を変えると,点Gが線分BQとCRを頂点のほうから2:1に分割しているということが分かったことになります。
 
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