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二等分線による対辺の分割比の証明2
二等分線による対辺の分割比の証明2 posted from フォト蔵

 とうとう大晦日になってしまいました。新潟の我が家には,暖房器具がエアコンしか残っていないので,結局我が家は,家族3人,教員住宅で年を越すことにしました。明日は,毎年恒例,ジャスコの初売りに行きます。そして実家まわりです。ジャスコの初売りでは,数年前に旅行券が当たったことがあり,縁起をかついで毎年行くことにしています。特に私達が気に入っているのは,パンツと靴下の詰め放題です。たった1000円で,1年間もちます。

 さて,今日は,角の二等分線に関する問題です。

「図の△ABCで,∠Aの二等分線と対辺BCとの交点をPとすると,

BP:PC=AB:AC

が成り立ちます。どうしてでしょうか?」

 図には,説明に必要と思われる補助線とアルファベットの記号も書いてありますので,これらを使った証明のしかたを考えてみてください。


 別な補助線の引き方で平行線と線分比を使う証明もありますが,ここでは,三角形の面積を利用した説明方法をご紹介します。
【説明】
 「角の二等分線」は,角をつくっている2辺から等しい距離にある点の軌跡(集合)です。ですから逆に「角の二等分線」上の点から角をつくっている2辺に降ろした垂線の長さは等しいといえます。
∴ PH=PK=hとおきます。
 このhを使って,二等分線で分割された2つの三角形△ABPと△APCの面積を表現してみます。
△ABP=(1/2)×AB×h・・・①
△APC=(1/2)×AC×h・・・②
 ①,②を使って,△ABPと△APCの面積比を簡単にしていきます。
△ABP:△APC
={(1/2)×AB×h}:{(1/2)×AC×h}
=AB:AC
∴△ABP:△APC=AB:AC・・・③

 次にAから辺BCに下ろした垂線の足をJとし,AJ=tとおいておきます。
△ABPの底辺をBP,△APCの底辺をPCとみると,高さは共通してAJ=tですから,
△ABP=(1/2)×BP×t・・・④
△APC=(1/2)×PC×t・・・⑤
 ④,⑤を使って,△ABPと△APCの面積比を簡単にしていきます。
△ABP:△APC
={(1/2)×BP×t}:{(1/2)×PC×t}
=BP:PC
∴△ABP:△APC=BP:PC・・・⑥

③,⑥は,ともに,△ABPと△APCの面積比を表していますから,
AB:AC=BP:PC
が成り立つことになります。
                          【説明終わり】

 要するに高さが等しい三角形や高さが共通な三角形に目をつけることによって,線分比の問題を面積比の問題にすり替えているわけです。

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