数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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ロバの橋


ロバの橋 posted from フォト蔵

 二等辺三角形の定義(ていぎ:使う用語の意味を定めたもの)は,

「二辺が等しい三角形」です。

二等辺三角形の等しい辺で挟まれた角を「頂角(ちょうかく)」,頂角に向かい合った辺を「底辺(ていへん)」,底辺の両端の角を「底角(ていかく)」といいます。

二等辺三角形については,底角に関する次の定理がよく知られています。

「二等辺三角形の2つの底角は等しい」

この定理(の証明)は,「ロバの橋」と呼ばれているそうです。ロバは,愚かなものの例えだそうです。ユークリッドが著した『原論』を学ぶある有名大学の超エリート学生たちの多くが,この証明問題のところで,つまずき,落ちこぼれるのだそうです。この話と関係があるかどうか分かりませんが,私は,この「ロバの橋」からイソップ物語のロバを思い出します。塩を運ぶロバが,いつも川のところに来ると,つまずいて積み荷を濡らすのだそうです。川の水で塩が溶けてしまうからです。そのことに気付いた飼い主がこのずる賢いロバを懲りさせるために,積み荷をいつもの塩はでなく綿にしたところ,いつものように川でつまずいたロバは,逆に積み荷を重くしてしまったという話です。

有名大学の超エリート学生がつまずいた理由は私には分かりません。でも,私自身が初めてこの証明を教わったときに持った疑問は,「どうして頂角の二等分線を証明のための補助線として思いついたのか?」ということでした。この補助線がまるで天から降ってきたかのような印象を持ったからなのです。

次のように自分自身を納得させます。

「二等辺三角形の2つの底角が等しいことを実験的に確かめるには,折り紙で二等辺三角形をつくり,等しい辺が重なるように折ってみて,底角どうしが重なるかどうかを調べればよい。折り目の線を観察すると,この線は頂角の二等分線と考えられる。この線によって二等辺三角形が2つの合同らしい三角形に分割されている。じゃあ,この2つの三角形が本当に合同かどうかを確かめれば,合同な図形では,対応する角の大きさが等しいから,2つの底角が等しいことを示すことができるじゃないか。」


 でも,次のような疑問も沸いてきます。(おそらく生徒の中にも同じような疑問を抱くものがいるはずです。)

「折り目の線を「頂角の二等分線」とみなす証明が一般的だと思うけど,同じ折り目の線を「底辺の垂直二等分線」とみなして証明するのは,ダメなのだろうか?こっちの補助線の方も「二辺挟角」条件がすぐ使えて証明の記述もたいして変わらないと思うのだけどなあ・・・。」・・・(A)


 この疑問についての私自身の納得の仕方(=生徒への説得の仕方)は次のようなものです。
「一般の三角形では,一つの辺の垂直二等分線を引いたとき,必ずしもその辺と向かい合う頂点を通るとは限らない。もし,通らないとすると,与えられた二等辺三角形は三角形と四角形に分割されてしまう。これでは,三角形の合同条件の使いようがない。それにもしも,底辺の垂直二等分線を引いたときに頂角の頂点を通過して2つの三角形ができたとしても,「二辺が等しい」という仮定を使わずに証明できてしまうのはおかしい。証明の出発点は,仮定の「二辺が等しい」ことのはずじゃないか?」


 こんな納得の仕方(=説得の仕方)でよいのでしょうか?(A)の疑問に答えて下さる読者の方がいらっしゃいましたら,コメントでもトラックバックでも結構です。どうか教えて下さい。


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