数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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中点連結定理_応用
中点連結定理_応用 posted from フォト蔵

 たった今,昨日の宿,関川村高瀬温泉「高橋屋観山荘」から帰ってきました。帰宅後すぐ,メールの確認ついでにマイブログの順位を確認したら,なんと1ランクダウンの第9位。昨夜,北越後の有名な地酒を飲んだ後,慣れない携帯電話からアップした泥酔モブログのせいでしょうか?

 昨日の宿の感想です。
 「高橋屋観山荘」さんには,「日本旅行」さんにお願いして予約を取ってもらいました。1泊2食付で一人8000円のリーズナブルなプランでした。夕食も朝食も部屋食で,温かい料理を仲居さんが運んできてくれました。平日ということもあり,宿泊客が少なかったせいもあるのでしょうが,従業員さんたちの応対が親切かつ丁寧でたいへん感じの良い宿でした。浴室,浴槽も掃除が行き届いていて好印象でした。屋上に露天風呂が1つありました。時間帯を決めて男女が交代するようになっていました。脱衣所に鍵がかかるので,込み合わない時間帯なら家族だけで利用することも可能のようです。玄関を入るとすぐ左手には,東海道五十三次を描いた絵皿が展示されています。また,浴室を出てすぐ右手の休憩コーナーには,百人一首の絵皿があります。私達が泊まったフロアーには,日本昔話の登場人物を描いた有田焼の絵皿が飾ってありました。皿の枚数だけでも見事なコレクションがあります。あの「イッツミー」の逸見正孝さんや双子山親方も泊まられたことがあるそうです。

 さて,今日の問題です。
「好きな形,大きさの四角形ABCDをかき,その4つの辺AB,BC,CD,DAの中点(ちゅうてん:ちょうど真ん中の点)をそれぞれ点P,Q,R,Sとします。これら4つの中点を結んでできる四角形PQRSはどんな形になるでしょうか?」

 そうです。図のように中点を結んでできる中の四角形は必ず平行四辺形になってしまうのです。外側の四角形をどんな風に描いても,中にできるのはいつも平行四辺形になります。私は,初めてこの問題を知ったとき,「へェー,スゲェー」と素直に感動したように記憶しています。「なんで,でたらめに四角形を描いているのに,中にできるのはすべて平行四辺形なんだろう?」と不思議に思ったものです。楔形の凹形四角形の場合も蝶形にねじれた四角形の場合にも必ず平行四辺形になります。

 授業でこの問題を取り上げるときには,誰がどんな四角形を描こうが,4つの辺の中点を結んでできる中の四角形は平行四辺形になってしまうという不思議さを十分味わわせたいものです。そしてその不思議さをバネにして,どうしてそうなるかを解明せずにはいられない気持ちにさせられれば,「証明」と聞いただけで拒否反応を起こす生徒を減らすことができるのではないかと思います。ゆとりの無い授業時間数の中で,数学の不思議さや美しさを鑑賞するというような時間をどのくらい生み出せるかというと,現実はなかなか難しいものがあります。しかし,一人でも多くの生徒の「数が苦」を「数楽」に変えてやれるものなら,数楽者として努力のし甲斐があるというものです。

 作図をコンパスと定規で行い,測定も分度器を使う場合は,いくつかの場合の図をかき,測定もするとなると,相当な時間がかかります。これを「GMW」のような作図ツールを利用することにすれば,大幅な時間短縮ができます。作図ツールの場合は,1点を指定して頂点の位置を変更すると,関連した部分がゴムのように伸び,簡単に図形を変形できます。また,線分の長さや角の大きさの変化は,観察したい線分や角を「測定値」に指定することによって,変形による値の変化を眺めることができます。つまり,作図ツールを導入することによって,「鑑賞」や「観察」の時間を生み出せるメリットがあるということです。

 どうしていつでも平行四辺形になってしまうかは,もとの四角形に対角線を1本引いてできる2つの三角形に「中点連結定理」を使えば,簡単に,しかも,これ以上説得力のある説明のしかたは無いと思えるほどの説得力で証明することができます。

 中点連結定理というのは,「三角形の2辺の中点どうしを結んだ線分は,残りの1辺に平行で,長さは半分になる。」というものです。この定理を使った証明は次回アップする予定です。この問題に興味をお持ちの読者の皆様は,証明にチャレンジしてみてください。

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