2010年10月18日

無限について ~カントールの対角線論法~

テーマ:┣おもしろ数学(高校生向け)

こんにちは。


数学学芸員のようじです。







無限の話もだんだんと終わりに近づいてきました。


今日ご紹介するのは、無限の話で最も大切な


カントールの対角線論法です。



これを理解して、周りの人に語れるようになれば、アナタも立派な無限通です!







さて、自然数と整数、有理数がすべて1:1対応できて、同じ濃度であることを勉強しました。



では実数はどうでしょうか??


自然数と0から1の実数では、どちらの濃度が大きいか(はたまた同じか)を調べます。





材料)

・背理法

・カントールの対角線論法






背理法とは、


「こうなるのでは?」と仮定して、話をすすめていくと矛盾が出てきて、「やっぱり最初の仮定が違うんだ」とする証明法です。








では、まず


0から1の実数すべてに自然数で番号をつけられる(すべて1:1対応できる)と仮定しましょう。



番号をつけられたとすると、以下のように並べられます。



数学美術館 -実数を自然数で


(0から1の実数すべてに①、②、③、④・・・と自然数番号をつけられるとしています。画像で並べている小数は適当です。)




でも、すべての実数に番号をつけたと思っても、



数学美術館 -カントールの対角線論法


このように、①、②、③、④のそれぞれの小数点第○位の数より少し違う数を各小数点桁に並べて作った実数は、自然数番号をつけたどの実数にも該当しません。


すなわち、0から1のすべての実数に自然数番号をつけられたと仮定したのですが、それでも番号のついていない新しい実数を作ってしまうことができるのです。


これはすべての0から1の実数に自然数番号をつけたという仮定に反します。




以上より、0から1の実数すべてに自然数で番号をつけられるという仮定が間違っていたことになります。



よって、0から1の実数は自然数よりも濃度が大きいのです







これがカントールの対角線論法です。


非常にすっきりシンプルに0から1の実数のほうが自然数よりも濃度が濃いことを証明できました。

さすがカントールさん!


0から1という有限の長さの中に、無限に続く自然数よりも多い点があるのですね。

(まぁ、自然数は高々加算ですしね!)




実は、0から1の実数と実数全体は同じ濃度です。


これらの無限集合を非可算無限集合(Uncountable infinity set)といいます。




(余談)

有理数が可算無限集合で、実数全体が非可算無限集合ということですので、

実は無理数(実数から有理数をひいたもの)が非可算無限集合なのです。


もっというと、実は有理数係数の代数方程式の解となる数は可算無限で、解とならない数(超越数)は非加算無限なのです!!!



次回はいよいよ

アレフゼロや連続体仮説、ゲーデルの不完全性定理をお話します!( ゚∀゚)ノ



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