2007-04-15 07:01:18

平行なら錯角が等しいことの証明

テーマ:証明

「平行なら錯角が等しい」はよく知られた事実です。


確かに、帯状の紙を斜めに切って重ねればぴったり重なります。


しかしそれでは数学的な証明にはならない。


そこで、数学っぽく証明してみようと思ったのはだいぶ前のことでした。


ところがこれがなかなか上手くいかない。


そして悩みぬいた結果、1つのアイデアが浮かびました!




まず次の図を見てください。(画像をクリックすればでかくなります。)

図

平行な2直線l、mがあり、直線と点A,Cで交わっているとします。

まず、点Aを通り直線に垂直な線ABと、点Cを通り直線に垂直な線DCを引きます。
そして、∠CADをaとします。


ここで、「平行である」の定義として、「AB=DCとなる」を導入します。

ようは、互いの距離が一定で、近づきも遠ざかりもしないということです。


では証明を始めます。


△BACと△DCAにおいて

∠BAD=90、∠CAD=aであるから、∠BAC=90-a ・・・①

また、∠CAD=a、∠ADC=90であるから、∠DCA=180-90-a=90-a ・・・②

①②から、∠BAC=∠DCA ・・・③


さらに、は平行であるから、AB=DC ・・・④

また、ACは共通 ・・・⑤


③④⑤から、△BACと△DCAは2辺夾角相当である。


ゆえに、△BAC≡△DCA


したがって、∠BCA=∠DAC


よって、錯角が等しいことが証明された。




僕の考えたことはこんな感じです。


しかし、はたして「平行ならAB=DCとなる」と言っていいのかが今度は問題です。


たしか平行の定義は「交わらない」だったはず・・・。


そこで、交わらない→距離が一定→AB=DCと考えたんですけどね。


でも何か怪しいような気もしないでもない・・・・・。


う~ん、これで正しいのか間違ってるのか、僕にはわかりません。

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2005-05-13 23:29:56

錯角の証明

テーマ:証明

今日から新たに「証明」というテーマを追加してみた。


錯覚ってありますよね。


あれって証明できますか?


今日学校で友人と小一時間悩んだんですが証明できませんでした。

lとmが平行な直線でnが直線のとき

α=βを証明せよ。

錯角

図形としてではなく、関数としてなら証明できるんだけどなぁ・・・。


誰かヘルプミー


ちなみに対頂角は簡単に証明できます。

対頂角
わかりますかね?


左のαに注目します。

赤い線に注目したとき上の角度は180-αです。(直線の角度は180度という定義より)
黒い線に注目したとき下の角度は180-αです。(直線の角度は180度という定義より)

これで対頂角が証明されました。(180から180-αを引けばαが出ます)


錯角や同位角も定理を用いずに証明出来るはずなんですが・・・。


もし出来なかったら一大事ですね・・・。

下手すると昨日の「三角形の内角の和は180度」が証明されていないことに・・・。




マヂで誰かヘルプミー(その2)

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