コマネチ大学 #37
たけしのコマネチ大学数学科#37 2007/02/15 深夜OA
今回のテーマは、
「スパゲッティ問題」
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（BGMはトリックではなく、オーソレミーヨ）
スパゲッティといえばイタリアン。ちなみに、私の好きなパスタはペペロンチーノ。
でも、デートの時はニンニクの匂いが気になるので控えてます。（戸部アナ）
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竹内先生から、特にこれと言った説明も無くいきなり問題へ。
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Q: 問題
１本が30cmのスパゲッティを無作為に3本に折った時、
その3本で三角形が作れる確率を求めなさい。
ポイント：無作為に3本に折り、三角形ができる場合と
無作為に3本に折り、三角形ができない場合がある。
（下図をクリックすると拡大します / 38-1 ）
先生からのヒント：
以前、番組でやった問題がヒントになります。
まず、一辺に何個の立方体が並ぶかを計算。
計算だけでは辛いので、イメージングが必要
先ほどの模型を、マス北野に渡す。マスは東大生と相談している。
コマ大は、パスカルの三角形を書き、ヒントを得ようとしている。
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コマ大の検証：
実際にスパゲッティを無作為に折って、三角形を作り数える事に。
スタートは午前6:00AM。スタッフからは1000組以上で検証して欲しいと指示。
ひたすら折って、
（三角形の個数）／（3本に折れたもの）＝確率 で求める。
6時間後、3000本のスパゲッティを使って検証終了。
MVPは無法松。ご褒美は、使ったスパゲッティ食べ放題。（総時間9時間15分）
コマ大の奮闘シーン後に、コマ大の本「コマ大数学科特別集中講座」のPR
￥1,000 Amazon.co.jp 東大生はモンテカルロ法を思い出している。
マス北野は聞き耳と立てている。
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今週の東大生プチ情報 「電車でこんなことをしています」
松江さん：
一時間半の通学時間に、DSでスーパーマリオをやっている。
木村さん：
受験のときに、手の甲、平、指の間に英単語を書いて覚えていた。
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Ａ： 各チームの解答
◆コマネチ大学生の解答
3000本の実験結果から、=> 確率：0.272
◆マス北野の解答
（下図をクリックすると拡大します / 38-2 ）
１．座標を書き面積で確率を求めようとした。（モンテカルロ法がそうだった））
２．3本に折れるという事は、折り目が二つ。
下図のように、それぞれの長さを、ｘ , y-x , 30-x とした。
３．三角形のできる条件は2辺の和が他の一辺より長いので、
x + 30 - y > y - x より x + 15 > y ( > x )
さらに、 15 > x > 0 , 30 > y > 15 <= 3本に折る条件を加えてグラフにする
斜線部が条件を満たす部分なので、1/4 <<=答え
ホントは全体がわからず、1/8なのか、1/4なのか自信が無かった
◆東大生の解答
（下図をクリックすると拡大します / 38-3 ）
折れたスパゲッティ3本の長さをそれぞれ、 a , b , 30-(a+b) とした。
3本に折れるための条件は、
a ≦ b ≦ 30-(a+b) この不等式は b ≧ a , b ≦ -a/2 + 15 となり、
これを、a , b 座標平面にとると、青で囲まれた部分になる。
三角形のできる条件は、
a + b ≧ 30-(a+b) なので、 b ≧ -a + 15
これを、a , b 座標平面にとり、3本に折れるための条件と
併せてみると、赤で塗られた部分になる。
3本に折れる全体が青、三角形ができるのは赤の面積なので、
面積比は、a軸方向の三角形の高さで考え、 10：（10-15/2）= 4 : 1
答えは1/4 = 25%
正解は、1/4 マス北野と東大生チームが正解である。
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先生の解説
二通りの解き方がある。代数的に解く（モンテカルロ法）、幾何学的に解く方法。
１．代数的に解く（モンテカルロ法）
（下図をクリックすると拡大します / 38-4 ）
3本に折れるスパゲッティの長さを x , y-x , 30-y とする。
ここから、3本に折れる条件は、
0 < x , x < y , y < 30 ・・・ (1)
三角形の２辺の和は他の１辺より長いので、
２辺の長さの和 ＞ 他の一辺の長さ
x + ( y - x ) > 30 - y ・・・ (2)
x + ( 30 - y ) > y - x ・・・ (3)
( y - x ) + ( 30 - y ) > x ・・・ (4)
(2)(3)(4)式を解くと
y > 15 , y < x + 15 , x < 15 ・・・ (5)
(1)(5) を x y 座標に示すと、
青で囲まれる部分がスパゲッティが３つに折れる領域
赤の部分が、三角形になる領域
面積比から、答えは １／４
２．幾何学的に解く。
マーチン・ガードナーという人が考えた方法で、
（アメリカの数学者、著述家、アマチュア手品師、ハノイの塔でも有名 ）
正三角形のなかに点Pを取り、それぞれの辺に垂線を下ろすと、
その3本の垂線の長さの和は、常に三角形の高さに等しい、
という関係を応用する。（東大生も（私も）驚きの声）
（下図をクリックすると拡大します / 38-5 ）
そこで、上図のADにスパゲッティの30cmをあててみると、
PG,PF,PEは、それぞれ3本に折れた長さに相当する。
三角形にする為には、1つが15cmを超えてはならないので、
PGが15cm以下。同様にPF,PEにも言えるので、
正三角形のそれぞれの辺の中点を結んだ逆正三角形の範囲が
問題の満たす条件と示すことができる。
この面積が、全体の1/4なので、確率は1/4、と即求まる。
いつもTBなどでお世話になっているガスコン研究所さんは、もっと早い方法！
http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2007/02/38_e4b1.html
参考に：
マーチン・ガードナー 数学ゲーム wiki (英文和訳)
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応用解説・「イグ・ノーベル賞」
「イグ・ノーベル賞（Ig Nobel Prize）」が紹介された。
これは、人を笑わせ、そして考えさせてくれる研究に対して与えられる賞。
ノーベル賞のパロディー的な存在で、1991年の創設。
日本人の受賞者：
2005年：ドクター中松氏・栄養学賞
2002年：犬語翻訳機（バウリンガル）・平和賞
1997年：たまごっち・経済学賞
他の受賞者は、
2006年：物理学賞・・・ バジル・オードリー、セバスチャン・ノイキルヒ
乾燥したスパゲッティを曲げると、２つに割れず、それ以上の数の破片に
なってしまうのは何故か、についての洞察に対して。
1996年：物理学賞・・・ ロバート・マシュー
マーフィーの法則（失敗する確率のあるものは、必ず失敗する）
とりわけ、トーストがバターを塗った面を下にして落下することを実証した
功績に対して。
理論的に説明後、実験もしている。 6011/9821 ≒ 60%
竹内先生は、コマ大も受賞対象になるのではと言う。
（ホントにそうかもしれない、と私も思う）
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今週のフィールド賞：東大生チーム
変数の取り方はマス北野、答えをピタリと当てたのは東大生で、
双方の受賞だったのだが、マス北野が譲る。
講師：竹内薫
（科学作家 東大理学部物理学科卒）
解答者：
マス北野
木村美紀（東京大学薬学部3年）
松江由紀子（東京大学農学部3年）
コマネチ大学生
2007/02/15深夜OA
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